Główna zawartość

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Lekcja 4: Odpowiedź swobodna i wymuszona

Odpowiedź skokowa układu RC

Jak układ RC odpowiada na skok napięcia? Znajdziemy odpowiedź całkowitą jako sumę odpowiedzi wymuszonej i naturalnej. Odpowiedź skokowa układu RC stanowi fundament pozwalający na określenie zachowania wszystkich układów cyfrowych Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Przypuśćmy, że udało nam się wywołać nagły skok napięcia w układzie

RC

. Zobaczmy, co stanie się w tej sytuacji z napięciem mierzonym na kondensatorze.

Dążymy do tego, by wyznaczyć napięcie na kondensatorze w funkcji czasu,

v (t)

Kiedy zmieniamy coś w obwodzie, na przykład zamykamy przełącznik, napięcia i natężenia prądów płynących przez elementy dostosowują się do nowych warunków. Jeśli mamy do czynienia, tak jak w tym przypadku, z nagłym skokiem napięcia, odpowiedź układu nazywamy odpowiedzią skokową. Obserwacja zachowania w odpowiedzi na nagły skok jest często używanym sposobem charakteryzacji układu. Dajemy naszemu układowi niewielkiego "kopa", a następnie patrzymy co się z nim dzieje. Może to nam powiedzieć wiele na temat własności układu.

Do czego zmierzamy

Całkowitą odpowiedź układu można rozbić na odpowiedź wymuszoną i naturalną. Stosując zasadę superpozycji możemy po prostu dodać je do siebie.

Odpowiedź wymuszoną liczymy przy włączonych źródłach i zerowych warunkach początkowych, które określają zgromadzoną energię wewnętrzną.
O odpowiedzi naturalnej mówimy, gdy zadane zostały jakieś warunki początkowe, ale bez podłączonego napięcia albo prądu wejścia.

całkowita = wymuszona + naturalna

Posiłkując się rozdzieleniem na odpowiedź naturalną i wymuszoną, wyprowadzimy odpowiedź skokową układu

RC

v (t) = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

V_{S}

jest wysokością skoku napięcia.

V_{0}

jest napięciem początkowym na kondensatorze

Wyznaczamy odpowiedź skokową układu $RC$ ‍

Interesuje nas znalezienie napięcia na kondensatorze,

v

, w funkcji czasu. Zaczniemy od obserwacji tego, co dzieje się przed zamknięciem przełącznika. Następnie przeskoczymy daleko w przyszłość tak, by sprawdzić stan końcowy układu. Zakończymy badając, co dzieje się pomiędzy zamknięciem obwodu a odległym w czasie momentem.

Stan początkowy

Ze schematu możemy odczytać, że przed zamknięciem obwodu

(t < 0)

, na na kondensatorze istnieje napięcie wynoszące

v (0) = V_{0}

Biorąc pod uwagę że obwód jest otwarty, wiemy, że natężenie prądu wynosi

0

. Określiliśmy więc warunki początkowe dla obwodu.

Stan końcowy

Zmieniając pozycję przełącznika w chwili

t = 0

, obwód zostaje zamknięty i zaczyna płynąć w nim prąd. Będzie on płynął dopóki na oporniku występuje napięcie.

W pewnej chwili w przyszłości napięcie na kondensatorze

v

, zrówna się z napięciem źródła,

V_{S}

. Kiedy tak się stanie, napięcie na oporniku,

V_{S} - v

, wyniesie

0

. Natężenie prądu również spadnie do

0

. Jest to stan końcowy obwodu.

Podsumowując: Na początku i na końcu nie w obwodzie nie płynie prąd, ale pomiędzy coś dzieje się z napięciem i natężeniem prądu.

Stan przejściowy

Pomiędzy początkowym a końcowym stanem, natężenie prądu i napięcie dostosowują się do warunków narzuconych przez źródło napięciowe. Okres, w którym zachodzą zmiany nazywamy stanem przejściowym. Przebieg zmian

v

w czasie określa odpowiedź przejściową układu

RC

. W naszym przykładzie, zamknięcie obwodu powoduje skok napięcia. Dlatego też mówimy w tym przypadku o odpowiedzi skokowej.

Korzystając z informacji o stanie początkowym i końcowym oraz z naszej wiedzy na temat działania opornika

R

i kondensatora

C

, postaramy się precyzyjnie opisać odpowiedź przejściową układu.

Analiza

Analizę naszego obwodu możemy zacząć rozpisując równania na natężenie prądu w prawym górnym węźle korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa. Zsumujemy natężenia prądów wypływających z tego węzła:

\begin{array}{cccl} i_{R} & + & i_{C} & = 0 \\ \frac{v - V_{S}}{R} & + & C \frac{d v}{d t} & = 0 \end{array}

Rozwikłamy te równania i zapiszemy je w taki sposób, by przypominały równanie różniczkowe:

\frac{v}{R} - \frac{V_{S}}{R} + C \frac{d v}{d t} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{v}{R} = \frac{V_{S}}{R}

\frac{d v}{d t} + \frac{v}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

warunek początkowy:

v (0) = V_{0}

Oto równanie różniczkowe, które należy nam rozwiązać. Po prawej stronie występuje wyraz

V_{S} / RC

. Nie jest to ani

v

, ani pochodna

v

. Z tego względu mówimy, że mamy do czynienia z równaniem niejednorodnym.

Rozwiązanie niejednorodnego równania różniczkowego nie jest najprostszą sprawą. Posłużymy się więc pewną strategią.

Strategia: Znalezienie odpowiedzi wymuszonej i naturalnej

W naszym obwodzie mamy do czynienia z dwoma czynnikami - sygnałem wejściowym i warunkami początkowymi, których jednoczesne wystąpienie znacznie komplikuje rozwiązanie niejednorodnego równania. Przekształcenia mogą okazać się trudne. Przyjmiemy naszą zwyczajową strategię, czyli spróbujemy rozbić problem na części. Trudniejsze zadanie rozwiążemy, traktując osobno wymuszoną i naturalną odpowiedź. Będzie do dużo prostsze niż bezpośrednie zmaganie się z niejednorodnym równaniem różniczkowym.

Czym jest odpowiedź wymuszona? W naszym przykładzie jest to napięcie wyjściowe mierzone po upływie bardzo długiego czasu, gdy cała zgromadzona na kondensatorze energia ulegnie rozproszeniu. Ignorowane jest istnienie elementów mogących gromadzić energię, czyli nasz kondensator i jego początkowe napięcie.

Odpowiedź wymuszona nie powie nam, co dzieje się na początku tuż po zamknięciu przełącznika albo w trakcie stanu przejściowego, bo nie bierze pod uwagę zgromadzonej energii. Do tego potrzebujemy odpowiedzi naturalnej.

Odpowiedź naturalna mówi nam, jak układ zachowuje się w trakcie gdy zgromadzona w nim energia jest rozpraszana, czyli gdy napięcie na kondensatorze jest rozładowywane. Ignorowana jest obecność jakiegokolwiek napięcia albo prądu na wejściu. W naszym obwodzie jest to skok napięcia pojawiający się z zamknięciem obwodu. "Miejsce docelowe" odpowiedzi naturalnej jest zawsze stan o zerowym natężeniu prądu i napięciu.

Na koniec dodamy do siebie odpowiedź wymuszoną i naturalną, co pozwoli nam w pełni opisać zachowanie układu. Odpowiedź wymuszona określa dla odpowiedzi naturalnej cel inny niż zero. W rezultacie wyznaczymy odpowiedź całkowitą układu.

Superpozycja odpowiedzi wymuszonej i naturalnej

Odpowiedź wymuszona bierze pod uwagę obecność sygnału na wejściach.
Odpowiedź naturalna bierze pod uwagę wewnętrzne warunki początkowe.
Odpowiedź całkowita jest ich sumą.
Tak działa w praktyce zasada superpozycji.

\begin{array}{clcc} \underset{―}{Initial conditions} & \underset{―}{Inputs} \\ forced response & 0 & i n (t) \\ + & natural response & wp & 0 \\ = & \overset{―}{total response} & wp & i n (t) \end{array}

v_{t} = v_{f} + v_{n}

(Indeksy

_{t}

_{f}

_{n}

oznaczają odpowiednio odpowiedź: całkowitą (ang. total), wymuszoną (ang. forced) i naturalną (ang. natural). "wp" - warunki początkowe)

W nomenklaturze matematycznej, metoda którą stosujemy opisywana przy pomocy poniższych pojęć:

\begin{array}{clcc} \underset{―}{Warunki początkowe} & \underset{―}{Wejście} \\ rozwiązanie szczególne & 0 & i n (t) \\ + & rozwiązanie jednorodne & wp & 0 \\ = & \overset{―}{rozwiązanie całkowite} & wp & i n (t) \end{array}

Rozwiązanie jednorodne nazywamy również rozwiązaniem ogólnym.

Jeszcze bardziej żargonowo: Nasze równanie jest niejednorodnym równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o stałych współczynnikach. Można poplątać sobie język.

W jednorodnym równaniu, wszystkie wyrazy zależą jedynie od $v$ ‍ lub od pochodnych $v$ ‍. W szczególności, nie występują wyrazy stałe.
W równaniu niejednorodnym występują wyrazy niezależne od $v$ ‍ albo pochodnych $v$ ‍. Takim równaniem okazało się równanie napędzanego układu $RC$ ‍.
W równaniu zwyczajnym występuje tylko jedna zmienna niezależna. W naszym równaniu jest to czas - $t$ ‍.
W równaniu pierwszego rzędu występują pochodne co najwyżej pierwszego rzędu.
W równaniu o stałych współczynnikach, wartości parametrów takich, jak $(R, C, itd.)$ ‍ nie zmieniają się z upływem czasu.

Rozwiązanie obwodu zasilanego z zewnątrz

Następujące kroki prowadzą do rozwiązania obwodu zasilanego zewnętrznym źródłem:

Podstawiamy $0$ ‍ w warunkach początkowych i znajdujemy odpowiedź wymuszoną.
Podstawiamy $0$ ‍ na wejściu i znajdujemy odpowiedź naturalną.
Znajdujemy odpowiedź całkowitą przez zsumowanie odpowiedzi wymuszonej i naturalnej.
Z zadanych warunków początkowych znajdujemy wartości stałych występujących w równaniach.

Odpowiedź wymuszona układu RC

Odpowiedź wymuszona,

v_{f} (t)

, jest częścią całkowitej odpowiedzi wywołanej bezpośrednio przez zasilanie na wejściu, przy warunkach początkowych równych

0

. Na chwilę zapominamy o warunkach początkowych i znajdujemy rozwiązanie niejednorodnego równania różniczkowego. Rozwiązanie związane z odpowiedzią wymuszoną jest zwykle przeskalowaną wersją przebiegu, który podawany jest na wejściu.

Wiemy, że przed chwilą

t = 0

, odpowiedź wymuszona jest zerowa, bo napięcie wejścia nie jest podłączone do opornika i kondensatora.

t > 0

równanie przyjmuje postać:

\frac{d v_{f}}{d t} + \frac{v_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Spróbujemy zgadnąć postać rozwiązania na odpowiedź wymuszoną

v_{f}

i sprawdzić jego poprawność. W przypadku odpowiedzi wymuszonej, niezłym strzałem jest funkcja przypominające wejście. Skoro w

t > 0

napięcie jest stałe, założymy że tak samo jest z odpowiedzią wymuszoną:

v_{f} = K_{f}

Wstawmy to do równania różniczkowego w

t > 0

i zobaczmy co się wydarzy:

\frac{d K_{f}}{d t} + \frac{K_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Wiodący wyraz pochodnej wynosi

0

, pozostawiając nas z:

\frac{K_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Równanie różniczkowe na odpowiedź wymuszoną jest zatem spełnione, gdy:

v_{f} = K_{f} = V_{S}

A odpowiedź wymuszona przyjmuje postać:

(Przez przypadek wygląda dokładnie jak napięcie na wejściu.)

Odpowiedź naturalna układu RC

Teraz szukamy odpowiedzi naturalnej. (Możesz prześledzić szczegółowe wyprowadzenie w rozdziale "Odpowiedź naturalna układu RC".) W przypadku odpowiedzi naturalnej, wyłączamy wejście i rozwiązujemy sam obwód.

Wyłączenie wejścia oznacza zastąpienie źródła napięciowego zwarciem. Kiedy wyłączamy wejścia, prawa strona pierwotnego niejednorodnego równania różniczkowego przyjmuje wartość

0

, zmieniając się w jednorodne równanie różniczkowe, z którym wiemy jak sobie poradzić.

\frac{d v_{n}}{d t} + \frac{v_{n}}{RC} = 0

Proponujemy rozwiązanie na

v_{n}

w postaci funkcji wykładniczej z dwoma sterowalnymi parametrami, a następnie wypróbowujemy je.

v_{n} = K_{n} e^{s t}

Wstawiamy to do jednorodnego równania różniczkowego.

s K_{n} e^{s t} + \frac{1}{RC} K_{n} e^{s t} = 0

We can factor out the common

K_{n} e^{s t}

term:

K_{n} e^{s t} (s + \frac{1}{RC}) = 0

Jeśli

K_{n}

e^{s t}

są skończone, to

K_{n} e^{s t}

nigdy nie osiągnie

0

. Jeśli którykolwiek z wyrazów wyniesie

0

, otrzymamy nudne rozwiązanie. Nietrywialne rozwiązanie otrzymamy gdy:

s + \frac{1}{RC} = 0

Ta zależność to równanie charakterystyczne układu

RC

. Spotkamy się z nim jeszcze wiele razy.

s = - \frac{1}{RC}

Otrzymujemy odpowiedź naturalną:

v_{n} = K_{n} e^{- t / RC}

Przejście do równania jednorodnego pozwoliło nam na wyznaczenie

s

oraz odpowiedzi naturalnej. Odpowiedź naturalna jest po prostu własnością układu

RC

i nie zależy w żaden sposób od przebiegu napięcia wejściowego. Pozostało nam znaleźć

K_{n}

, co uczynimy za chwilę szukając odpowiedzi całkowitej.

Odpowiedź całkowita = odpowiedź wymuszona + naturalna

Odpowiedź wymuszona uwzględnia kształt sygnału wejściowego.
Odpowiedź naturalna bierze pod uwagę wewnętrzne warunki początkowe.
Scalimy teraz je razem tak, by otrzymać odpowiedź całkowitą uwzględniającą jedno i drugie.

v_{t} = v_{f} + v_{n}

v_{t} = V_{S} + K_{n} e^{- t / RC}

Znajdujemy $K_{n}$ ‍ z warunków początkowych

Przyszedł moment na znalezienie

K_{n}

bazując na warunkach początkowych. Wiemy już, że odpowiedź całkowita w chwili

t = 0

musi wynosić

v_{t} = V_{0}

. (Jest to Całkowita odpowiedź, nie tylko sama naturalna.) Podstawmy wszystko co wiemy o chwili

t = 0

do równania na odpowiedź całkowitą:

V_{0} = V_{S} + K_{n} e^{- 0 / RC}

Wyraz z funkcją wykładniczą daje

1

i otrzymujemy:

V_{0} = V_{S} + K_{n}

K_{n} = V_{0} - V_{S}

Złożenie całkowitej odpowiedzi

Wstawmy teraz

V_{0} - V_{S}

do odpowiedzi całkowitej:

v_{t} = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

I już. Oto odpowiedź całkowita na skok napięcia dla szeregowego połączenia typu

RC

Gdyby na kondensatorze nie było początkowego napięcia,

v (0) = 0

, to równanie na odpowiedź całkowitą miałoby postać:

v_{t} = V_{S} - V_{S} e^{- t / RC}

lub

v_{t} = V_{S} (1 - e^{- t / RC})

Uwagi końcowe

Co w zasadzie oznacza odpowiedź wymuszona? Pokazuje nam ona co dzieje się, gdy pominiemy efekty związane z energią zgromadzoną na kondensatorze i napięciem początkowym. Powie nam, dokąd zmierza napięcie wyjściowe w długiej perspektywie czasu, gdy cała zgromadzona energia ulegnie rozproszeniu.

Odpowiedź wymuszona nie mówi nam co dzieje się na początku albo w trakcie przechodzenia do stanu końcowego, ponieważ pomija zgromadzoną energię.

Odpowiedź naturalna mówi nam jak zachowa się odosobniony układ gdy zgromadzona energia może swobodnie ulec rozproszeniu. "Miejsce docelowe" odpowiedz naturalnej wynosi zero. Odpowiedź wymuszona określa inny cel dla odpowiedzi naturalnej. W naszym przypadku jest to

V_{S}

Podsumowanie

Omówiliśmy sposób rozwiązania obwodu z opornikiem i kondensatorem przy zewnętrznym napięciu. Skorzystaliśmy z pierwszego prawa Kirchhoffa do zbudowania równania różniczkowego opisującego nasz obwód. Następnie rozwiązaliśmy go przy pomocy odpowiedzi wymuszonej i naturalnej.

Odpowiedź wymuszona określa zachowanie obwodu z podłączonym źródłem, ale z zerowymi warunkami początkowymi.
Odpowiedź naturalna obwodu określa co się z nim dzieje z uwzględnieniem warunków początkowych, ale bez sygnału wejściowego.
Odpowiedź całkowita jest sumą odpowiedzi wymuszonej i odpowiedzi naturalnej. Połączyć je można korzystając z zasady superpozycji.

odpowiedź całkowita = odpowiedź wymuszona + naturalna

Dla szeregowego połączenia

R C

, odpowiedź skokowa wynosi:

v = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

V_{S}

jest napięciem skokowym, a

V_{0}

- początkowym napięciem na kondensatorze.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Elektrotechnika